Валерий Фёдорович Быковский родился 2 августа 1934 года, в городе Павловский Посад Московской области. Окончил школу московского аэроклуба, Качинское военное авиационное училище лётчиков (1955) и Военно-воздушную инженерную академию им. Н. Е. Жуковского (1968).
Вошёл в состав отряда космонавтов одним из первых во время первого набора из ВВС в 1960 году, он был лётчиком-истребителем с момента окончания Качинского военного авиационного училища лётчиков имени А. Ф. Мясникова в 1955 году и служил в истребительном полку Московского округа ПВО.
Первый свой полёт в космос совершил командиром корабля «Восток-5» с 14 по 19 июня 1963 года. Продолжительность этого полёта была 4 суток 23 часа 6 минут, полёт проходил совместно с полётом корабля «Восток-6», пилотируемого Валентиной Терешковой. Во втором своём космическом полёте с 15 по 23 сентября 1976 года также был командиром корабля «Союз-22». Полёт продолжался 7 суток 21 час 52 минуты 17 секунд. Третий полёт совершил в качестве командира советско-немецкого экипажа на корабле «Союз-31» (26 августа — 3 сентября 1978 года) для работы на борту орбитальной станции «Салют-6», возвратился на корабле «Союз-29», весь полёт продолжался 7 суток 20 часов 49 минут 4 секунды. За три рейса в космос налетал 20 сут 17 ч 47 мин 21 с. В 1988 году ушёл из отряда космонавтов.